Question

【題目】已知A是圓O：x2+y2＝4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，動(dòng)點(diǎn)D滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；

（2）垂直于x軸的直線M交軌跡C于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P（3，0），直線PM與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.問(wèn)：直線NQ是否過(guò)一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線NQ恒過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程化簡(jiǎn)即可得的軌跡方程；

（2）設(shè)直線斜率為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出的坐標(biāo)關(guān)系，利用兩點(diǎn)式表示出直線的方程，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．

(1)設(shè)D(x，y)，∵，∴A(x，)，

代入圓O的方程可得：x24，即1.

∴動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程是：1.

(2)設(shè)直線PM的方程為y＝k(x﹣3)，

聯(lián)立方程組，消元得：(3+4k2)x2﹣24k2x+36k2﹣12＝0，

∴△＝576k4﹣4(3+4k2)(36k2﹣12)0，解得：k2.

設(shè)M(x1，y1)，Q(x2，y2)，則N(x1，﹣y1)，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2，x1x2，

直線NQ的方程為：，

即(x2﹣x1)y﹣(y1+y2)x+x2y1+x1y2＝0，

∵y1+y2＝k(x1﹣3)+k(x2﹣3)＝k(x1+x2)﹣66，

x2y1+x1y2＝x2k(x1﹣3)+x1k(x2﹣3)＝2kx1x2﹣3k(x1+x2)＝2k3k，

∴直線NQ方程為：(x2﹣x1)0，即(x2﹣x1)＝0，

∴直線NQ恒過(guò)定點(diǎn)(，0).