Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx+5．
（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=-1，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求f（x）的極值．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx，其定義域為x＞0，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）a=-1，f（x）=x²-2lnx+5，
f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，x＞0，
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）0，
∴f（x）_極小值=f（1）=1+5=6．無極大值．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx，其定義域為x＞0
當(dāng)a=0時，f（x）=x²-2x
∴x＜1時，f（x）單調(diào)減；x≥1時，f（x）單調(diào)增；
當(dāng)a≠0時，令f′（x）=2x-2（a+1）+

2a

x

=0，得x₁=1，x₂=a
f''（x）=2-

2a

x2

，f''（1）=2-2a；f''（a）=2-

2

a

，
2-2a＞0，a＜1，2-

2

a

a＞1，
當(dāng)a=1時，f′（x）≥0，在定義域內(nèi)f（x）單調(diào)增；
當(dāng)a＞1時，f''（1）＜0；f''（a）＞0，f（x）在x₁處取極大值；在x₂處取極小值；
∴x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)增；x∈[1，a）時，f（x）單調(diào)減；
x∈[a，+∞）時，f（x）單調(diào)增；
當(dāng)0＜a＜1時，f''（1）＞0；f''（a）＜0，f（x）在x₁處取極小值；在x₂處取極大值；
∴x∈（0，a）時，f（x）單調(diào)增；
x∈[a，1）時，f（x）單調(diào)減；x∈[1，+∞）時，f（x）單調(diào)增；
當(dāng)a＜0時，f''（1）＞0；f''（a）＜0，f（x）在x₁處取極小值；x₂不在定義域內(nèi)；
∴x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)減；x∈[1，+∞）時，f（x）單調(diào)增．
綜上：當(dāng)a＜=0時，x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)減；x∈[1，+∞）時，f（x）單調(diào)增；
當(dāng)0＜a＜1時，x∈（0，a）時，f（x）單調(diào)增；
x∈[a，1）時，f（x）單調(diào)減；x∈[1，+∞）時，f（x）單調(diào)增；
當(dāng)a=1時，f’（x）＞=0，在定義域內(nèi)f（x）單調(diào)增；
當(dāng)a＞1時，x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)增；
x∈[1，a）時，f（x）單調(diào)減；x∈[a，+∞）時，f（x）單調(diào)增．

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．