Question

已知f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

+1．
（1）求f（x）的最小正周期及其圖象對稱中心的坐標和對稱軸的方程；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）要求函數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

+1的最小正周期及其圖象對稱中心的坐標和對稱軸的方程，首先通過三角函數(shù)式的恒等變換把它轉換成正弦型解析式，然后利用T=

2π

ω

求出最小正周期，進一步利用整體思想求出圖象對稱中心的坐標和對稱軸的方程．
（2）根據(jù)（1）所求的解析式，然后依據(jù)已知定義域求函數(shù)解析式的值域

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

+1=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+1=sin（2x-

π

3

）+1
函數(shù)f（x）的最小正周期：T=

2π

2

=π
令2x-

π

3

=kπ 解得x=

kπ

2

+

π

6

 （k∈Z）
∴函數(shù)f（x）圖象的對稱中心為（

kπ

2

+

π

6

，1）（k∈Z）
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

  解得x=

kπ

2

+

5π

12

  （k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的對稱軸的方程為：x=

kπ

2

+

5π

12

 （k∈Z）
（2）由（1）知函數(shù)的解析式為：
f（x）=sin（2x-

π

3

）+1
∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1
∴函數(shù)f（x）的值域為[1-

3

2

，2]
故（1）答案為：
函數(shù)f（x）的最小正周期為π
函數(shù)f（x）圖象的對稱中心為（

kπ

2

+

π

6

，1）（k∈Z）
函數(shù)f（x）的對稱軸的方程為：x=

kπ

2

+

5π

12

 （k∈Z）
（2）函數(shù)f（x）的值域為[1-

3

2

，2]

點評：本題重點考查的知識點：三角函數(shù)式的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期，正弦型函數(shù)的對稱中心，正弦型函數(shù)的對稱軸方程及函數(shù)在某一定義域下的值域，是高考的常見題型．