Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，d，使得成立？若存在，請求出m和d的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件可知．所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．由此可以導(dǎo)出a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由，得，，故．從而．由此入手能夠證明2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅲ）由題意知．a(chǎn)₈=8，所以，由此入手能夠推導(dǎo)出存在正整數(shù)m=d=2，使得成立．
解答：解：（Ⅰ）已知式即，故．
因?yàn)閍_n≠0，當(dāng)然a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
由于，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由，得，，
故．
從而．
=
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=-log₂（2n+1）
==．
設(shè)，
則，
故=，
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特別地，從而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅲ）易得．
注意到a₈=8，則有，
即，整理得3^m-3^m-d=8．①
當(dāng)m≥d時(shí)，由①得3^m-d（3^d-1）=8．
因?yàn)閙，d∈N^*，所以m=d=2．
當(dāng)m＜d時(shí)，由①得3^d-1=8•3^d-m．②
因?yàn)閙＜d，故②式右邊必是3的倍數(shù)，而左邊不是3的倍數(shù)，所以②式不成立，
即當(dāng)m＜d時(shí)，不存在m，d∈N^*，使得①式成立．
綜上所述，存在正整數(shù)m=d=2，
使得成立．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．