用數(shù)學歸納法證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N+）．
考點：數(shù)學歸納法
專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析：直接利用數(shù)學歸納法證明問題的步驟，證明不等式即可．
解答： 證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=2，1＜2，所以不等式成立．…（3分）
（2）假設(shè)m=k時不等式成立，即1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
＜2
k
，…（5分）
則當n=k+1時，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
+
1
k+1
＜2
k
+
1
k+1
=
2
k(k+1)
+1
k+1
＜
k+k+1+1
k+1
=2
k+1
，…（10分）
即當n=k+1時，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，對于任意n∈N+時，不等式成立． …（12分）
點評：本題考查數(shù)學歸納法證明含自然數(shù)n的表達式的證明方法，注意n=k+1的證明時，必須用上假設(shè)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

半徑為R的球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積是（　�。�
A、
8
9
3
R3
B、
4
3
πR3
C、2
2
R3
D、
3
9
R3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某種福利彩票每期的開獎方式是，從1，2，…，20的基本號碼中由電腦隨機選出4個不同的幸運號碼（不計順序），凡購買彩票者，可自由選擇1個，2個，3個或4個不同的基本號碼組合成一注彩票，若彩票上所選的基本號碼都為幸運號碼就中獎．根據(jù)所選基本號碼（幸運號碼）的個數(shù)，中獎等級分為
基本號碼數(shù)
（幸運號碼數(shù)）		1234
中獎等級四等獎三等獎二等獎一等獎
（1）求購買一注彩票獲得三等獎或者四等獎的概率；
（2）設(shè)隨機變量X表示一注彩票的獲獎等級，X取值0，1，2，3，4（0表示未獲獎），求隨機變量X的分布列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2+ax+4
x
（x＞0）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增；
（2）A={x|x2-5x+4＜0}，B={x|f（x）＜2}，若B⊆A，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1、DB的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥EF；
（Ⅱ）求三棱柱B1-CEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）=x2+x，用g（n）表示f（x）當x∈[n，n+1]（n∈N*）時的函數(shù)值中整數(shù)值的個數(shù)．
（1）求g（n）的表達式．
（2）設(shè)an=
2n3+3n2
g(n)
（n∈N*），求S2n=
2n
k=1
（-1）k-1ak．
（3）設(shè)bn=
g(n)
2n
，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn＜l（l∈Z），求l的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：若
x-2
+（y+1）2=0，則x=2且y=-1．
（1）寫出p的否命題q，并判斷q的真假（不必寫出判斷過程）；
（2）寫出p的逆否命題r，并判斷r的真假（不必寫出判斷過程）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若2f（x）+
lnx
x
≥0對于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）當x∈（
1
2
，1）時，f（x）≤g（x）成立，求a的取值范圍．

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