Question

某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上的學生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生才能獲得面試資格．
（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（I）根據(jù)數(shù)據(jù)的概率之和為1，求出第四組數(shù)據(jù)的頻率，再根據(jù)小矩形的高=

頻率

組距

求小矩形的高，補全直方圖；
（II）眾數(shù)為第二組的中間值；從左數(shù)前兩組數(shù)據(jù)的頻率和為0.4，設中位數(shù)為85+x，則x×0.06=0.1，求出x，可得中位數(shù)；利用平均數(shù)為各個小矩形的中間值乘以對應小矩形的面積和，求平均數(shù)；
（III）分別求出成績良好與優(yōu)秀的學生數(shù)，根據(jù)抽取比例計算得抽取的5人中有3人成績優(yōu)秀，2人成績良好，
利用組合求出從5人中選2人的基本事件個數(shù)和至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式計算．

解答： 解：（Ⅰ）第四組的頻率為1-0.01×5-0.07×5-0.06×5-0.02×5=0.2，
∴第四組小矩形的高為

0.2

5

=0.04，
∴頻率分布直方圖如圖：

（Ⅱ）眾數(shù)為第二組的中間值，∴眾數(shù)為82.5；
∵從左數(shù)前兩組數(shù)據(jù)的頻率和為0.4，設中位數(shù)為85+x，則x×0.06=0.1，
∴x=1

2

3

，∴中位數(shù)為86.7；
平均數(shù)為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25．
（III）成績優(yōu)秀的學生數(shù)為40×（0.3+0.2+0.1）=24，
∴成績良好的學生數(shù)為16，
用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學生中抽取5人，抽取的比例為

5

40

=

1

8

，
∴這5人中有3人成績優(yōu)秀，2人成績良好，
從5人中選2人的選法有

C

2 5

=10種方法，
其中至少有一人是“優(yōu)秀”的選法有

C

2 3

+

C

1 3

×C

1 2

=9種，
∴至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是

9

10

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖，古典概型的概率計算，考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，綜合性強．