Question

【題目】已知正三角形的邊長為2，是邊的中點，動點滿足，且，其中，則的最大值為（ ）

A.1B.C.2D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

可建立如圖所示的平面直角坐標系，根據題設條件可得動點在圖中的圓上（實線部分）運動，設點，則可用的三角函數表示，從而可求其最大值.也可以把表示為，故（如圖），利用向量共線的幾何意義可得的最大值就是的最大值，利用三角形相似得當與半圓相切時最大.

如圖所示，由于動點滿足，且，

因為，所以點在以點為圓心，1為半徑的半圓（圖中實線）上運動，，，，，，，，

所以，

，

因為，所以，.

所以，故選D．

方法二：等和線法

由于動點滿足，且，其中，

所以點在以點為圓心，1為半徑的半圓（圖中實線）上運動且.

設的中點為，與交于點，

，

所以，所以，

過點分別作直線平行交于，

則，當與半圓相切時，最大且為.

故選D.