Question

給出下列命題：①若函數(shù)f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(0，

1

3

)；②若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（3-x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；③函數(shù)y=f（x+1）與函數(shù)y=f（3-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；④若函數(shù)f（x+2013）=x²-2x-1（x∈R），則f（x）的最小值為-2．其中正確命題的序號有

 

（把所有正確命題的序號都寫上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：利用函數(shù)的單調(diào)性判斷①的正誤；利用函數(shù)的圖象的對稱性判斷②的正誤；利用兩個函數(shù)的圖象的對稱性判斷③的正誤；利用二次函數(shù)的最值以及函數(shù)的圖象的左右平移不改變函數(shù)的最值判斷④的正誤；

解答： 解：對于①，函數(shù)f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
∴a∈（0，1），并且3a-1＜0，解得a＜

1

3

，
3a-1+4a≥0，解得a≥

1

7

，
∴a∈[

1

7

，

1

3

)，
∴①不正確；
對于②，函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（3-x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∴②正確；
對于③，函數(shù)y=f（x+1）與函數(shù)y=f（3-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
∵函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（b-x）的圖象關(guān)于直線x=

b-a

2

對稱，
∴函數(shù)y=f（x+2）的圖象與函數(shù)y=f（3-x）的圖象關(guān)于直線x=

3-1

2

=1對稱，
∴③不正確．
對于④，函數(shù)f（x+2013）=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，函數(shù)的最小值是-2，則f（x）與f（x+2013）只是函數(shù)的圖象左右平移，不改變函數(shù)的最小值為-2．
∴④正確．
綜上正確是命題是：②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查函數(shù)的圖象的單調(diào)性，函數(shù)的最值，考查函數(shù)圖象的對稱性，要求區(qū)分f（a+x）=f（a-x）與y=f（a+x）和y=f（a-x）的對稱性是區(qū)別，前者關(guān)于x=a對稱，后者關(guān)于y軸對稱．