Question

平行四邊形ABCD中，BC=2，CD=

2

，BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點
（1）求證：GH∥平面CDE
（2）求平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構(gòu)造面外線平行于面內(nèi)線，其手段一般是構(gòu)造平行四邊形，或構(gòu)造三角形中位線（特別是有中點時），由此本題即要證明BE的中點H也是FC的中點，于是只要證明四邊形EFBC是平行四邊形，此較為容易．
（2）求二面角一般分為三個步驟：作出二面角的平面角，證明此角是二面角的平面角，利用解三角形知識求出二面角的三角函數(shù)值，也可建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量的夾角，根進一步判斷二面角的大�。�

解答： （1）證明：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC且EF=AD=BC，
∴四邊形EFBC是平行四邊形，
∴H為FC的中點，又G是FD的中點∴HG∥CD，
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE（4分）
（2）解法一：過點D作DM⊥BC于M，由題意知M為BC中點，連結(jié)EM．
由題意知BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD，
∴BC⊥EM，∴∠EMD是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角．（8分）
∵CD=

2

，DB=

2

，
∴DM=

1

2

BC=1，EM=

ED2+DM2

=

5

，
∴sin∠EMD=

ED

EM

=

2 5

5

，
∴平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值為

2 5

5

．
（12分）
（2）解法二：以點D為坐標原點，
DC，DB，DE所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），C（

2

，0，0），B（0，

2

，0）
E（0，0，2），（6分）
∴

DE

=(0，0，2)，

EC

=（

2

，0，-2），

EB

=（0，

2

，-2），
設(shè)平面ECF的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

EC

，

n

⊥

EB

，得

2 x-2z=0 2 y-2z=0

，
令z=1，

n

=(

2

，

2

，1)，又平面ABCD的法向量為

DE

=(0，0，2)，（9分）
設(shè)平面ECF與平面ABCD所成的二面角為θ，
則cosθ=

DE • n

| DE |•| n |

=

5

5

，
∵θ∈[0，π]，∴sinθ=

2 5

5

即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值為

2 5

5

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．