精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,已知橢圓)與圓在第一象限相交于點,橢圓的左、右焦點,都在圓上,且線段為圓的直徑.

1)求橢圓的方程;

2)設過點的動直線與橢圓交于,兩點,為坐標原點,證明:為定值,并求出這個定值.

【答案】1;(2)證明見解析,定值為.

【解析】

1)由圓的方程可得與軸的交點坐標即橢圓的焦點坐標,和圓的半徑,由題意可得的值,再由存在求出,再由橢圓的定義可得橢圓的方程;

2)分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論,設直線的方程與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積,進而求出數量積的值為定值.

解:(1)在圓的方程中,令,得,即,所以.

將圓的方程化為,則圓半徑為,所以.

連結,因為點在圓上,為圓的直徑,則.

,則.

據橢圓定義,,則.

從而,所以橢圓的方程是;

2)當直線的斜率存在時,設的斜率為,則的方程為,代入橢圓方程,得

,即.

設點,..

所以

,

的斜率不存在時,直線軸重合,此時點,,,

綜上分析,為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓,點是它的右端點,弦過橢圓的中心,.

1)求橢圓的標準方程;

2)設、為圓上不重合的兩點,的平分線總是垂直于軸,且存在實數,使得,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數

)若,求處的切線方程.

)求在區(qū)間上的最小值.

)若在區(qū)間上恰有兩個零點,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數).為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為(),將曲線向左平移2個單位長度得到曲線.

1)求曲線的普通方程和極坐標方程;

2)設直線與曲線交于兩點,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設函數,其中.

1)若,求的極值;

2)若曲線與直線有三個互異的公共點,求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某銷售公司在當地兩家超市各有一個銷售點,每日從同一家食品廠一次性購進一種食品,每件200元,統一零售價每件300元,兩家超市之間調配食品不計費用,若進貨不足食品廠以每件250元補貨,若銷售有剩余食品廠以每件150回收.現需決策每日購進食品數量,為此搜集并整理了、兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄,得到如下數據:

銷售件數

8

9

10

11

頻數

20

40

20

20

以這些數據的頻數代替兩家超市的食品銷售件數的概率,記表示這兩家超市每日共銷售食品件數,表示銷售公司每日共需購進食品的件數.

(1)求的分布列;

(2)以銷售食品利潤的期望為決策依據,在之中選其一,應選哪個?

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某廠加工的零件按箱出廠,每箱有10個零件,在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗,人工檢驗方法如下:先從每箱的零件中隨機抽取4個零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,則停止檢驗;若抽取的零件至少有1個至多有3個次品,則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8,每個零件是否檢驗合格相互獨立,且每個零件的人工檢驗費為2.

1)設1箱零件人工檢驗總費用為元,求的分布列;

2)除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法,機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗,每個零件的檢驗費為1.6.現有1000箱零件需要檢驗,以檢驗總費用的數學期望為依據,在人工檢驗與機器檢驗中,應該選擇哪一個?說明你的理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有一個“引葭赴岸”問題:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”其意思為“今有水池1丈見方(即尺),蘆葦生長在水的中央,長出水面的部分為1.將蘆葦向池岸牽引,恰巧與水岸齊接(如圖所示).試問水深、蘆葦的長度各是多少?假設,現有下述四個結論:

①水深為12尺;②蘆葦長為15尺;③;④.

其中所有正確結論的編號是(

A.①③B.①③④C.①④D.②③④

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】定義在上的偶函數滿足,且,當時,.已知方程在區(qū)間上所有的實數根之和為.將函數的圖象向右平移個單位長度,得到函數的圖象,則__________,__________.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案