【題目】如圖,已知橢圓(
)與圓
:
在第一象限相交于點
,橢圓
的左、右焦點
,
都在圓
上,且線段
為圓
的直徑.
(1)求橢圓的方程;
(2)設過點的動直線
與橢圓
交于
,
兩點,
為坐標原點,證明:
為定值,并求出這個定值.
【答案】(1);(2)證明見解析,定值為
.
【解析】
(1)由圓的方程可得與軸的交點坐標即橢圓的焦點坐標,和圓的半徑,由題意可得
的值,再由存在求出
,再由橢圓的定義可得橢圓的方程;
(2)分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論,設直線的方程與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積,進而求出數量積的值為定值.
解:(1)在圓的方程中,令
,得
,即
,所以
.
將圓的方程化為
,則圓
半徑為
,所以
.
連結,因為點
在圓
上,
為圓
的直徑,則
.
又,則
.
據橢圓定義,,則
.
從而,所以橢圓
的方程是
;
(2)當直線的斜率存在時,設
的斜率為
,則
的方程為
,代入橢圓方程,得
,即
.
設點,
.則
,
.
所以
,
當的斜率不存在時,直線
與
軸重合,此時點
,
,
,
綜上分析,為定值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓,
點是它的右端點,弦
過橢圓的中心
,
,
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設、
為圓上不重合的兩點,
的平分線總是垂直于
軸,且存在實數
,使得
,求
的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線
的參數方程為
(
為參數).以
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
(
),將曲線
向左平移2個單位長度得到曲線
.
(1)求曲線的普通方程和極坐標方程;
(2)設直線與曲線
交于
兩點,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某銷售公司在當地、
兩家超市各有一個銷售點,每日從同一家食品廠一次性購進一種食品,每件200元,統一零售價每件300元,兩家超市之間調配食品不計費用,若進貨不足食品廠以每件250元補貨,若銷售有剩余食品廠以每件150回收.現需決策每日購進食品數量,為此搜集并整理了
、
兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄,得到如下數據:
銷售件數 | 8 | 9 | 10 | 11 |
頻數 | 20 | 40 | 20 | 20 |
以這些數據的頻數代替兩家超市的食品銷售件數的概率,記表示這兩家超市每日共銷售食品件數,
表示銷售公司每日共需購進食品的件數.
(1)求的分布列;
(2)以銷售食品利潤的期望為決策依據,在與
之中選其一,應選哪個?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某廠加工的零件按箱出廠,每箱有10個零件,在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗,人工檢驗方法如下:先從每箱的零件中隨機抽取4個零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,則停止檢驗;若抽取的零件至少有1個至多有3個次品,則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8,每個零件是否檢驗合格相互獨立,且每個零件的人工檢驗費為2元.
(1)設1箱零件人工檢驗總費用為元,求
的分布列;
(2)除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法,機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗,每個零件的檢驗費為1.6元.現有1000箱零件需要檢驗,以檢驗總費用的數學期望為依據,在人工檢驗與機器檢驗中,應該選擇哪一個?說明你的理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有一個“引葭赴岸”問題:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”其意思為“今有水池1丈見方(即尺),蘆葦生長在水的中央,長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽引,恰巧與水岸齊接(如圖所示).試問水深、蘆葦的長度各是多少?假設
,現有下述四個結論:
①水深為12尺;②蘆葦長為15尺;③;④
.
其中所有正確結論的編號是( )
A.①③B.①③④C.①④D.②③④
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在上的偶函數
滿足
,且
,當
時,
.已知方程
在區(qū)間
上所有的實數根之和為
.將函數
的圖象向右平移
個單位長度,得到函數
的圖象,則
__________,
__________.
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