Question

（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講

如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點，過C的直線交直線AB于E，交過A點的切線于D，BC∥OD .

（1）求證：DE是圓O的切線；

（2）如果AD =AB = 2，求EB的長.

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）若要證明是圓的切線，又已知點在圓周上，所以只須證明垂直于半徑即可.連接、，因為是直徑，所以，又，所以，則是弦的中垂線，可知，，

所以，

所以，從而可證明是圓的切線.

（2）可以考慮先證明，再利用相似三角形的對應邊成比例來求出長.因為，且，可得，所以，

所以，又，所以，因此，所以.

試題解析：（1）證：連接AC，AB是直徑，則BC⊥AC 由BC∥OD ⇒OD⊥AC

則OD是AC的中垂線⇒ ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC ,

∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

⇒OC⊥DE, 所以DE是圓O的切線 . 5分

（2）BC∥OD⇒∠CBA = ∠DOA，∠BCA = ∠DAO

⇒△ABC∽△AOD⇒ ⇒ BC ===

⇒ ⇒⇒⇒ BE = 10分

考點：1.圓切線的證明；2.相似三角形相的應用.