Question

【題目】△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2acosB=3b﹣2bcosA．

（1）求 的值；
（2）設AB的中垂線交BC于D，若cos∠ADC= ，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2acosB=3b﹣2bcosA，

∴2sinAcosB=3sinB﹣2sinBcosA

∴2sin（A+B）=3sinB，則2sinC=3sinB，

由正弦定理得， = =

（2）解：∵AB的中垂線交BC于D，∴DA=DB，則∠B=∠BAD，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，

∵cos∠ADC= ，∴cos∠ADC=1﹣2sin2B= ，

解得sinB= ，

由B是銳角得，cosB= = ，

∵在△ABC中，b=2，且 = ，∴c=3，

由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，

∴ ，解得a=4或 ，

∵BD= = ＞ ，∴a= 舍去，

∴△ABC的面積S= = =

【解析】（1）根據正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，再由正弦定理求出 的值；（2）根據條件和二倍角的余弦公式求出sinB的值，由平方關系求出cosB的值，由余弦定理求出a，由條件進行取舍，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．