Question

設(shè)函數(shù)

                        （1）若x=1是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍。

    （2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)的值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602403676157291/SYS201205260242296521833772_DA.files/image002.png">，

                      ，由=0，得.

                      ∴.

    ①若a≥0，由=0，得x=1.

                      當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

                      當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.所以x=1是的極大值點(diǎn).

②若a＜0，由=0，得x=1，或x=.

因?yàn)?i>x=1是的極大值點(diǎn)，所以＞1，解得－1＜a＜0.[來(lái)

綜合①②：a的取值范圍是a＞－1.

                      （Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，即有唯一實(shí)數(shù)解，

                      設(shè)，則．令，．

                      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602403676157291/SYS201205260242296521833772_DA.files/image020.png">，所以△=>0，方程有兩異號(hào)根設(shè)為x₁<0，x₂>0.因?yàn)?i>x>0，所以x₁應(yīng)舍去.

                      當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減;

                      當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增.

                      當(dāng)時(shí)，=0，取最小值．

    因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602403676157291/SYS201205260242296521833772_DA.files/image031.png">有唯一解，所以，

                      則   即

                      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602403676157291/SYS201205260242296521833772_DA.files/image020.png">，所以（*）

                      設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

                      是增函數(shù)，所以至多有一解．

                      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602403676157291/SYS201205260242296521833772_DA.files/image040.png">，所以方程（*）的解為，

    代入方程組解得

【解析】略