Question

已知集合M是滿足下列性質函數(shù)的f（x）的全體，在定義域D內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=

1

x

，g（x）=x²是否屬于集合M？分別說明理由．
（2）若函數(shù)f（x）=lg

a

x2+1

屬于集合M，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,元素與集合關系的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）依題意，若f（x）∈M，則存在非零實數(shù)x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，此方程無解⇒f（x）∉M；同理可判斷，g（x）∈M；
（2）f（x）∈M⇒存在實數(shù)x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

⇒（a-2）x02+2ax₀+2a-2=0，對a分a=2與a≠2討論，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=

1

x

，D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）∈M，
則存在非零實數(shù)x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x02+x₀+1=0，顯然此方程無實數(shù)解，
∴f（x）∉M；
函數(shù)g（x）=x²，D=R，若g（x）∈M成立，
則有(x0+1)2=x02+1，解得x₀=0，
∴g（x）∈M；
（2）由條件得：D=R，a＞0，由f（x）∈M知，
存在實數(shù)x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

，
∴

a

(x0+1)2+1

=

a

x02+1

•

a

2

，
化簡得：（a-2）x02+2ax₀+2a-2=0，
當a=2時，x₀=-

1

2

，符號題意；
當a≠2時，由△≥0得：4a²-4（a-2）（2a-2）≥0，
即3-

5

≤a≤3+

5

（a≠2），
綜上所述，a的取值范圍是[3-

5

，3+

5

]．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，考查元素與集合關系的判斷，突出考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．