Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-

3

2

x）e^mx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個極值點，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）中m=1時，函數(shù)g（x）=kx+1（k≠0），且?x₁∈[-

3

2

，2]，?x₂∈[2，3]使得f（x）≥g（x）成立．求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知推得f′（x）=0⇒mx²+

4-3m

2

x-

3

2

=0，由m的值分情況討論可得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m=1則f′（x）=

1

2

e^x•（2x²+x-3），?x₁∈[-

3

2

，2]，?x₂∈[2，3]，k＜0時，有-

e

2

≥2k+1，從而求得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^mx•[mx²+

4-3m

2

x-

3

2

]
∴f′（x）=0⇒mx²+

4-3m

2

x-

3

2

=0
①當(dāng)m=0則x=

3

4

∉（1，+∞），故不合題意；
②當(dāng)m＞0，若f（x）在（1，+∞）只有一個極值點，則只需滿足f′（x）＜0即可，⇒m+

4-3m

2

-

3

2

＜0，故m＞1；
③當(dāng)m＜0則需滿足f′（1）＞0即可，⇒m＜1，故m＜0．
綜上可得：m取值范圍為：m＞1或m＜0．
（Ⅱ）當(dāng)m=1則f（x）=（x²-

3

2

x）e^x
則有f′（x）=

1

2

e^x•（2x²+x-3）
若?x₁∈[-

3

2

，2]，?x₂∈[2，3]有f（x₁）≥g（x₂）成立，則只需f（x）_min≥g（x）_max即可．
令f′（x）=0，故x=-

3

2

或x=1
故

∴f（x）_極小值=f（1）=-

e

2

故有：當(dāng)k＞0時，g（x）_max=g（3）=3k+1，此時-

e

2

≥3k+1不可能成立；
當(dāng)k＜0時，g（x）_max=g（2）=2k+1，此時有-

e

2

≥2k+1，
從而解得k≤-

1

2

-

e

4

．

點評：本題主要考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，考察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．