Question

設有一顆彗星,圍繞地球沿一拋物線的軌道運行,地球恰好位于這個拋物線軌道的焦點處,當此彗星離地球為d(萬千米)時,經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為30°.求這顆彗星與地球的最短距離.

Answer 1

解:設彗星的軌跡方程為y²=2px(p＞0),焦點為F(,0),彗星位于點P(x₀,y₀)處,直線PF的方程為y=

(x-).

聯(lián)立拋物線方程,解得x₀=.

∴|PF|=x₀+=+=(4±2)p.

則(4±2)p=d,得p=d,

∴彗星與地球的最短距離為拋物線的頂點到焦點的距離,為=或d萬千米(P在F點的左邊或右邊時,所求距離取不同的值).