已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=e,b=4時(shí),求整數(shù)k的值,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,k+1)上存在零點(diǎn).
解 (1)f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.
∵a>1,∴當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),lna>0,ax-1>0.
∴f′(x)>0.
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1,∴f′(0)=0.
當(dāng)x>0時(shí),ex>1,∴f′(x)>0.
∴f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù);
同理,f(x)是(-∞,0)上的減函數(shù).
又f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,
f(2)=e2-2>0,
當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0,
∴當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi).
∴k=1滿足條件;
f(0)=-3<0,f(-1)=-2<0,
f(-2)=+2>0,
當(dāng)x<-2時(shí),f(x)>0;
∴當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(-2,-1)內(nèi).
∴k=-2滿足條件.
綜上所述,k=1或-2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=則F(x)的最值情況為( )
A.最大值為3,最小值為-1
B.最大值為7-2,無最小值
C.最大值為3,無最小值
D.既無最大值,又無最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導(dǎo)數(shù)為( )
A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo),若f(x)=f(2-x),且當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),(x-1)f′(x)<0,設(shè)a=f(0),b=f,c=f(3),則( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<c<a
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知f(x)=x2-cosx,x∈[-1,1],則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是( )
A.僅有最小值的奇函數(shù)
B.既有最大值,又有最小值的偶函數(shù)
C.僅有最大值的偶函數(shù)
D.既有最大值,又有最小值的奇函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
f(x)滿足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,則x>0時(shí),f(x)( )
A.有極大值,無極小值
B.有極小值,無極大值
C.既有極大值又有極小值
D.既無極大值也無極小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈.
(1)求證:f(x)≤0;
(2)若a<<b對(duì)x∈恒成立,求a的最大值與b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
若A,B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角,則點(diǎn)P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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