Question

已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿(mǎn)足，那么就稱(chēng) 為與的“和諧函數(shù)”．設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無(wú)窮多個(gè)．

 

Answer 1

【答案】

（1）,的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是    

,單調(diào)遞增區(qū)間是  ,,單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是  

（2）作差構(gòu)造新函數(shù)證明.

【解析】

試題分析：（1） ，常數(shù)）

令，則，                 

①當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是           

②當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是         

③當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是        

（2）令，

令，則，           

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060709044984864991/SYS201306070905282080287667_DA.files/image028.png">，所以，且

從而在區(qū)間上，，即在上單調(diào)遞減       

所以               

又，所以，即       

設(shè)（，則

所以在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無(wú)窮多個(gè)   

考點(diǎn)：類(lèi)比推理；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解，考查了利用已學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的能力，考查了推理運(yùn)算的能力，本題綜合性較強(qiáng)．