已知函數(shù)(其中常數(shù)a,b∈R),
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),求f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若a≠0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)g(x)在[0,a]上的最小值h(a),并探索:是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,使得對(duì)任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立.
【答案】分析:(I)根據(jù)所給的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù),寫出奇函數(shù)成立的等式,整理出b的值是0,得到函數(shù)的解析式,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),使得導(dǎo)函數(shù)等于0,求出極值點(diǎn).
(II)要求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),使得導(dǎo)函數(shù)大于0,解不等式,問題轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式,注意對(duì)于a值進(jìn)行討論.
(Ⅲ)求出函數(shù)g(x)在[0,a]上的極值、端點(diǎn)值,比較其中最小者即為h(a),再利用奇函數(shù)性質(zhì)及基本不等式求出f(x)的最小值,對(duì)任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立,
等價(jià)于f(x)min>h(a),在上只要找到一a值滿足該不等式即可.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),∴對(duì)x∈R,f(-x)=-f(x)成立,
,∴,
,得,
令f'(x)=0,得x2=1,∴x=±1,
經(jīng)檢驗(yàn)x=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
(Ⅱ)因?yàn)?nbsp;,∴,
令f'(x)>0⇒-ax2-2bx+a>0,得ax2+2bx-a<0,
①當(dāng)a>0時(shí),方程ax2+2bx-a=0的判別式△=4b2+4a2>0,兩根,
單調(diào)遞增區(qū)間為,
②當(dāng)a<0時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為
(Ⅲ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103101329392215770/SYS201311031013293922157021_DA/11.png">,當(dāng)x∈[0,a]時(shí),令g'(x)=0,得,其中
當(dāng)x變化時(shí),g'(x)與g(x)的變化情況如下表:
x(0,xx(x,a)
g'(x)+-
g(x)
∴函數(shù)g(x)在[0,a]上的最小值為g(0)與g(a)中的較小者.
又g(0)=0,,∴h(a)=g(a),∴,
b=0時(shí),由函數(shù)是奇函數(shù),且
∴x>0時(shí),,當(dāng)x=1時(shí)取得最大值;
當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0;當(dāng)x<0時(shí),,
∴函數(shù)f(x)的最小值為,
要使對(duì)任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立,則f(x)最小>h(a),
,即不等式上有解,a=π符合上述不等式,
∴存在滿足條件的實(shí)數(shù)a=π,使對(duì)任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題是考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的題目,是一個(gè)以考查函數(shù)的單調(diào)性和最值為主的題目,同時(shí)考查分析問題解決問題的能力,解題過程中要解含參數(shù)的一元二次不等式的解法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù),其中常數(shù)a > 0.

(1) 當(dāng)a = 4時(shí),證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù);

(2) 求函數(shù)f(x)的最小值.

 

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已知函數(shù)(其中常數(shù)a∈R)
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)如果f(x)是奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.

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已知函數(shù)(其中常數(shù)a,b∈R),是奇函數(shù).

(Ⅰ)求的表達(dá)式;

(Ⅱ)討論的單調(diào)性,并求在區(qū)間上的最大值和最小值.

 

 

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