Question

【題目】已知函數(shù)(mR)的導函數(shù)為．

（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）（2）{1，2}．

【解析】

（1）求解導數(shù)，表示出，再利用的導數(shù)可求m的取值范圍；

（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．

（1）因為，所以，

所以，

則，

由題意可知，解得；

（2）由（1）可知，，

所以

因為

整理得，

設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，

又因為，

所以存在，使得，

設(shè)，是關(guān)于開口向上的二次函數(shù)，

則，

設(shè)，則，令，則，

所以單調(diào)遞增，因為，

所以存在，使得，即，

當時，，當時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

因為，所以，

又由題意可知，所以，

解得，所以正整數(shù)k的取值集合為{1，2}．