Question

已知函數(shù)f（x）=

2x2 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

，函數(shù)g（x）=αsin（

π

6

x）-2α+2（α＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)α的取值范圍是（　�。�

• A、[

  1

  2

  ，

  4

  3

  ]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、[

  2

  3

  ，

  4

  3

  ]
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

分析：根據(jù)x的范圍確定函數(shù)f（x）的值域和g（x）的值域，進而根據(jù)f（x₁）=g（x₂）成立，推斷出 [0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，先看當(dāng)二者的交集為空集時刻求得a的范圍，進而可求得當(dāng)集合的交集非空時a的范圍．

解答：解：當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=

2x2 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0 1 2 ]

，值域是[0，1]，
g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)值域是 [2-2a，2-

3a

2

]，
∵存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，
若 [0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]=∅，則2-2a＞1或2-

3a

2

＜0，即 a＜

1

2

或a＞

4

3

，
∴a的取值范圍是 [

1

2

，

4

3

]．
故選A

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，函數(shù)的值域問題，不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過看兩函數(shù)值域之間的關(guān)系來確定a的范圍．