數學課上，老師出示了這樣一道題:

如圖，△ABC中，D為BC中點，且AD=AC,M為AD中點，連結CM并延長交AB于N.

探究線段AN、MN、CN之間的數量關系，并證明.

同學們經過思考后，交流了自已的想法:

小明：“通過觀察和度量，發(fā)現線段AN、AB之間存在某種數量關系.”

小強：“通過倍長不同的中線，可以得到不同的結論，但都是正確的，大家就大膽的探究吧.”

小偉：“通過構造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問題解決.”

......

老師: “若其他條件不變，設AB=a,則可以用含a的式子表示出線段CM的長.”

（1）探究線段AN、AB之間的數量關系，并證明;

（2）探究線段AN、MN、CN之間的數量關系，并證明;

（3）設AB=a,求線段CM的長（用含a的式子表示）.

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P從點A出發(fā)，沿折線AB﹣BO向終點O運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BO上以每秒3個單位長度的速度運動;點Q從點O出發(fā)，沿OA方向以每秒個單位長度的速度運動.P，Q兩點同時出發(fā)，當點P停止時，點Q也隨之停止.過點P作PE⊥AO于點E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，設矩形PEQF與△ABO重疊部分圖形的面積為S,點P運動的時間為t秒.

(1)連結PQ，當PQ與△ABO的一邊平行時，求t的值;

(2)求S與t之間的函數關系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.

（1）求證：PA是⊙O的切線;

（2）若tan∠BAD=， 且OC=4，求PB的長.

（1）求拋物線的解析式及頂點A的坐標;

（2）將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，如圖，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由.

(1) 畫出△ABC關于點O的中心對稱圖形△A1B1C1

(2) 畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉90°的△A2B2C2，直接寫出點C2的坐標為______.

(3) 若△ABC內一點P(m，n)繞原點O逆時針旋轉90°的對應點為Q，則Q的坐標為______.

（1）求 A、B 兩點的坐標；

（2）設 OMN 的面積為 S，直線 l 運動時間為 t 秒（0 ≤t ≤6 ），試求 S 與 t 的函數表達 式；

（3）在題（2）的條件下，t 為何值時，S 的面積最大？最大面積是多少．

①拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，不論 a 為何值時，它的頂點都在某條直線上；

②拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0)，其頂點的橫坐標減少，縱坐標增加得到A點，若把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點，則A，B兩點一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上．

（1）請你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點所在直線的解析式，并證明結論②是正確的；

（2）問題（1）中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎，并說明理由；

（3）你能把結論①或②（選擇其中之一）推廣到一般情況嗎，請用數學語言表述你的成 果，并給予嚴格的證明．