閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P的坐標為（x_p，y_p）．由x_p﹣x₁=x₂﹣x_p，得，同理，所以AB的中點坐標為．由勾股定理得，所以A、B兩點間的距離公式為．
注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立．
解答下列問題：

如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x²交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．
（1）求A、B兩點的坐標及C點的坐標；
（2）連結AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（3）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．

如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（－3，0）。

（1）求點B的坐標；
（2）已知，C為拋物線與y軸的交點。
①若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值。

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當m=2時，求點B的坐標；
（2）求DE的長？
（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數(shù)關系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

如圖，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y₂，兩條拋物線相交于點C．

（1）請直接寫出拋物線y₂的解析式；
（2）若點P是x軸上一動點，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點坐標；
（3）在第四象限內拋物線y₂上，是否存在點Q，使得△QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由．

如圖，已知拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；
（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．
①求S與m的函數(shù)關系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標； 若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系中，一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）兩點．

（1）寫出這個二次函數(shù)的對稱軸；
（2）設這個二次函數(shù)的頂點為D，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點E，連接AD、DE和DB，當△AOC與△DEB相似時，求這個二次函數(shù)的表達式。
[提示：如果一個二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A，那么它的表達式可表示為：]

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，B，與x軸分別交于點E，F(xiàn)，且點E的坐標為（，0），以OC為直徑作半圓，圓心為D．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：直線BE是⊙D的切線；
（3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MN∥BE交x軸與點N，連結PM，PN，設CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）請直接寫出點D的坐標：　   　；
（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；
（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

已知：關于x的二次函數(shù)（a＞0），點A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在這個二次函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）y₁=y₂，請說明a必為奇數(shù)；
（2）設a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；
（3）對于給定的正實數(shù)a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數(shù)式表示）；如果不存在，請說明理由．

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交 y軸與A點，交x軸與B、C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，－5）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線與點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系，并給出證明．
（3）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．