如圖，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．設(shè)P、Q分別為BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度均為1 cm/s，設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t(0＜t≤4)．

(1)寫(xiě)出△PBQ的面積S(cm²)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？

(3)△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說(shuō)明理由．

已知正方形ABCD．

(1)如圖，E是AD上一點(diǎn)，過(guò)BE上一點(diǎn)O作BE的垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，求證：BE＝GH；

(2)如圖，過(guò)正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，交AB、CD于點(diǎn)G、H，EF與GH相等嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點(diǎn)O在正方形ABCD的邊上或外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線(xiàn)，被正方形相對(duì)的兩邊(或它們的延長(zhǎng)線(xiàn))截得的兩條線(xiàn)段還相等嗎？其中一種情形如圖所示，過(guò)正方形ABCD外一點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線(xiàn)m、n，m與AD、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)E、F，n與AB、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)G、H，試就該圖對(duì)你的結(jié)論加以證明．

如下圖，二次函數(shù)y＝x²＋px＋q(p＜0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，－1)，△ABC的面積為．

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)過(guò)y軸上的一點(diǎn)M(0，m)作y軸上午垂線(xiàn)，若該垂線(xiàn)與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；

(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長(zhǎng)線(xiàn))于點(diǎn)M，N．

當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)(如下圖)，易證BM＋DN＝MN．

(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)(如下圖)，線(xiàn)段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．

(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如下圖的位置時(shí)，線(xiàn)段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

我們所學(xué)的幾何知識(shí)可以理解為對(duì)“構(gòu)圖”的研究：根據(jù)給定的(或構(gòu)造的)幾何圖形提出相關(guān)的概念和問(wèn)題(或者根據(jù)問(wèn)題構(gòu)造圖形)，并加以研究．

例如：在平面上根據(jù)兩條直線(xiàn)的各種構(gòu)圖，可以提出“兩條直線(xiàn)平行”、“兩條直線(xiàn)相交”的概念；若增加第三條直線(xiàn)，則可以提出并研究“兩條直線(xiàn)平行的判定和性質(zhì)”等問(wèn)題(包括研究的思想和方法)．

請(qǐng)你用上面的思想和方法對(duì)下面關(guān)于圓的問(wèn)題進(jìn)行研究：

(1)如圖，在圓O所在平面上，放置一條直線(xiàn)m(m和圓O分別交于點(diǎn)A、B)，根據(jù)這個(gè)圖形可以提出的概念或問(wèn)題有哪些(直接寫(xiě)出兩個(gè)即可)？

(2)如圖，在圓O所在平面上，請(qǐng)你放置與圓O都相交且不同時(shí)經(jīng)過(guò)圓心的兩條直線(xiàn)m和n(m與圓O分別交于點(diǎn)A、B，n與圓O分別交于點(diǎn)C、D)．

請(qǐng)你根據(jù)所構(gòu)造的圖形提出一個(gè)結(jié)論，并證明之．

(3)如圖，其中AB是圓O的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，弦DE⊥AB于點(diǎn)F．請(qǐng)找出點(diǎn)C和點(diǎn)E重合的條件，并說(shuō)明理由．

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．

(1)求證：；

(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)AB＝AC時(shí)，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說(shuō)明理由．

如圖①，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，AP交邊BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn)分別交AB、AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F、G．

(1)求證：BC∥FG；

(2)探究：PE與DE和AE之間的關(guān)系；

(3)當(dāng)圖①中的FE＝AB時(shí)，如圖②，若FB＝3，CG＝2，求AG的長(zhǎng)．

如圖，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C和點(diǎn)B(－1，0)．

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為M，求四邊形AOCM的面積；

(3)有兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)OAC按O→A→C的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)OCA按O→C→A的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、E兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△ODE的面積為S．

①請(qǐng)問(wèn)D、E兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在DE∥OC，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，那么S₀＝________．

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3a，兩動(dòng)點(diǎn)E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開(kāi)始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，與△BCF相應(yīng)的△EGH在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持△EGH≌△BCF，對(duì)應(yīng)邊EG＝BC，B、E、C、G在一直線(xiàn)上．

(1)若BE＝a，求DH的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值．

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝2 cm，AD＝BC＝6 cm，M、N為同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M沿A→D→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，速度為2 cm/秒；點(diǎn)N沿A→B的方向運(yùn)動(dòng)，速度為1 cm/秒．當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形的面積為ycm²．

(1)試求出當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)試求出當(dāng)4＜x＜7時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)3＜x＜4時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形是否有可能相似？若相似，試求出x的值．若不相似，試說(shuō)明理由．