請(qǐng)閱讀，完成證明和填空．

九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：

(1)如圖，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點(diǎn)M、N，使BM＝AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN＝CM，且∠NOC＝60°．

請(qǐng)證明：∠NOC＝60°．

(2)如圖，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、DM，那么AN＝________，且∠DON＝________度．

(3)如圖，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、EM，那么AN＝________，且∠EON＝________度．

(4)在正n邊形中，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過程，也會(huì)有類似的結(jié)論．

請(qǐng)大膽猜測(cè)，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)：________________．

如圖，在四邊形A8CD中，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則∠BME＝∠CNE(不需證明)．

(溫馨提示：在圖中，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，可證得HE＝HF，從而∠HFE＝∠HEF，再利用平行線的性質(zhì)，可證得∠BME＝∠CNE．)

問題一：如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

問題二：如圖，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC＝60⁰，連結(jié)GD，判斷△AGD的形狀并證明．

如圖，已知：在⊙O中，直徑AB＝4，點(diǎn)E是OA上任意一點(diǎn)，過E作弦CD⊥AB，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連接AF交CE于H，連接AC、CF、BD、OD．

(1)求證：△ACH∽△AFC；

(2)猜想：AH·AF與AE·AB的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想；

(3)探究：當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，S_△AEC∶S_△BOD＝1∶4？并加以說明．

在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，分別過點(diǎn)B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①．

(1)請(qǐng)?zhí)骄?I>BE、DF、EF這三條線段的長(zhǎng)度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上，如圖②，那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上呢，如圖③，請(qǐng)分別直接寫出結(jié)論；

(2)就(1)中的三個(gè)結(jié)論選擇一個(gè)加以證明．

如圖，已知矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，且點(diǎn)B(4，3)，反比例函數(shù)圖象與BC交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，其中D(1，3)．

(1)求反比例函數(shù)的解析式及E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)為F，請(qǐng)判斷點(diǎn)F是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．

如圖1，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE⊥EF，BE＝2．

(1)求EC∶CF的值；

(2)延長(zhǎng)EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P(如圖2)，試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；

(3)在圖2的AB邊上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖①、②、③中，點(diǎn)E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE＝CD，DB交AE于P點(diǎn)．

(1)求圖①中，∠APD的度數(shù)；

(2)圖②中，∠APD的度數(shù)為________，圖③中，∠APD的度數(shù)為________；

(3)根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況．若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說明理由．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)(OA＜OB)是方程x²－18x＋72＝0的兩個(gè)根，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD＝2CD．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線AD的解析式；

(3)P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)D、E．

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖1)，易證：．

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．

已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，

(1)如圖，E，F分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形．

(2)若E，F分別為AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．