閱讀材料：下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x_p，y_p)．由x_p－x₁＝x₂－x_p，得，同理，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

由勾股定理得AB²＝|x₂－x₁|²＋|y₂－y₁|²，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為．

注：上述公式對A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．

解答下列問題：

下圖，直線l：y＝2x＋2與拋物線y＝2x²交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)連結(jié)AC、BC，求證△ABC為直角三角形；

(3)將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線，求兩直線l與的距離．

下圖，在△ABC中，∠＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．

(1)求證：AE＝BC；

(2)上圖(2)，過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜144°)得到，連結(jié)，，求證：；

(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在∥AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α；若不存

在，請說明理由

如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．

(1)試求b、c的值、并寫出該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)動點(diǎn)P從A到D，同時(shí)動點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，問：

①當(dāng)P運(yùn)動到何處時(shí)，有PQ⊥AC？

②當(dāng)P運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形PDCQ的面積最��？此時(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？

如圖，直線y＝－x＋4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y＝x交于點(diǎn)C．在線段OA上，動點(diǎn)Q以每秒1各單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF．若運(yùn)動時(shí)間為t秒，在運(yùn)動過程中四邊形PEFQ總為矩形(點(diǎn)P、Q重合除外)．

(1)求點(diǎn)P運(yùn)動的速度是多少？

(2)當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形？

(3)當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y＝(x＞0)圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B．

(1)求證：線段AB為⊙P的直徑；

(2)求△AOB的面積；

(3)如圖2，Q是反比例函數(shù)y＝(x＞0)圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D．

求證：DO·OC＝BO·OA．

已知，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，AE⊥DE，AB＝12，BE＝16，F(xiàn)為線段BE上一點(diǎn)，EF＝7，連接AF．圖1，現(xiàn)有一張硬質(zhì)紙片△GMN，∠NGM＝90°，NG＝6，MG＝8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G在線段DE上．圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動，同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D勻速移動，點(diǎn)Q為直線GN與線段AE的交點(diǎn)，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，△GMN和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，解答下列問題：

(1)在整個(gè)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，求t的值；

(2)在整個(gè)運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

(3)在整個(gè)運(yùn)動過程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

下圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(5，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C(0，5)．

(1)求直線BC與拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖像上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；

(3)在(2)的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖像上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁＝6S₂，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(b，c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－1)，C的坐標(biāo)為(4，3)，直角頂點(diǎn)B在第四象限．

(1)圖中，若該拋物線過A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)平移(1)中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點(diǎn)Q．

i)若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

ii)取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

下圖，已知直線y＝4－x與反比例函數(shù)y＝(m＞0，x＞0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，利用函數(shù)圖象求關(guān)于x的不等式4－x＜的解集；

(2)是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P(1，0)？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

如圖，拋物線y＝ax²－2ax＋c(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G．

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長．

(3)在(2)的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．