Question

下圖，在△ABC中，∠＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．

(1)求證：AE＝BC；

(2)上圖(2)，過點E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜144°)得到，連結(jié)，，求證：；

(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在∥AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α；若不存

在，請說明理由

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：∵AB＝AC，∠＝36°， 　　∴∠ABC＝∠C＝72°，　1分 　　又BE平分∠ABC， 　　∴∠ABE＝∠CBE＝36°， 　　∴∠BEC＝180°―∠C―∠CBE＝72° 　　∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C， 　　∴AE＝BE，BE＝BC， 　　∴AE＝BC．　3分 　　(2)∵AC＝AB且EF∥BC，∴AE＝AF； 　　由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，， 　　∴≌， 　　∴．　6分 　　(3)存在∥AB， 　　由(1)可知AE＝BC，所以，在△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，E點經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，如圖． 　　①當(dāng)點E的像與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形， 　　∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∠BAC＝36°， 　　∴α＝∠CAM＝36°．　8分 　　②當(dāng)點E的像與點N重合時， 　　由AB∥l得，∠AMN＝∠BAM＝72°， 　　∵AM＝AN， 　　∴∠ANM＝∠AMN＝72°， 　　∴∠MAN＝180°－2×72°＝36°， 　　∴α＝∠CAN＝∠CAM＋∠MAN＝72°． 　　所以，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時，∥AB．　10分