Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點、不重合），過點作軸于點，交直線于點，連接、．設點的橫坐標為，的面積為．求關于的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍，并求出的最大值；

（3）已知為拋物線對稱軸上一動點，若是以為直角邊的直角三角形，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），當時，有最大值，最大值；（3），

【解析】

（1）由拋物線與x軸的兩個交點坐標可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C（0，3）代入拋物線解析式中即可得出關于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；

（2）設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b．結合點B、點C的坐標利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，再由點D橫坐標為m找出點D、點E的坐標，結合兩點間的距離公式以及三角形的面積公式求出函數(shù)解析式，利用配方法將S關于m的函數(shù)關系式進行變形，從而得出結論；

（3）先求出對稱軸，設M(1，y)，然后分分BM為斜邊和CM為斜邊兩種情況求解即可；

解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，

∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），

又∵點C（0，3）在拋物線圖象上，

∴3=a×（0+1）×（0-3），解得：a=-1．

∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3．

∴拋物線解析式為；

（2）設直線的函數(shù)解析式為，

∵直線過點，，

∴，解得，

∴，

設，，

∴，

∴，

∵，

∴當時，有最大值，最大值；

（3）∵，

∴對稱軸為直線x=1，

設M(1，y)，

則CM2=1+(y-3)2=y2-6y+10，

BM2=y2+(1-3)2=y2+4，

BC2=9+9=18.

當BM為斜邊時，

則y2-6y+10+18= y2+4，

解得

y=4，

此時M(1,4)；

當CM為斜邊時，

y2+4+18= y2-6y+10，

解得

y=-2，

此時M(1，-2)；

綜上可得點的坐標為，.