Question

【題目】如圖，已知直線，直線交于點，交于點，是線段上的一個動點，

（1）若點在線段（、兩點除外）上運動，問，，之間的關系是什么？這種關系是否變化？

（2）若點在線段之外時，，，之間的關系怎樣？說明理由

Answer 1

【答案】（1）∠APB=∠PAC +∠PBD，不會變化；（2）∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB，理由見解析．

【解析】

（1）當P點在C、D之間運動時，首先過點P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD，即∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關系不發(fā)生變化；

（2）當點P在C、D兩點的外側運動時，由直線l1∥l2，根據(jù)兩直線平行，同位角相等以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系．

（1）如圖①，當P點在C、D之間運動時，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：過點P作PE∥l1，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2∥l1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD，

即∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關系不發(fā)生變化；

（2）如圖②，

當點P在C、D兩點的外側運動，且在l1上方時，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：∵l1∥l2，

∴∠PEC=∠PBD，

∵∠PEC=∠PAC+∠APB，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

當點P在C、D兩點的外側運動，且在l2下方時，∠PAC=∠PBD+∠APB．

如圖③，

理由如下：∵l1∥l2，

∴∠PED=∠PAC，

∵∠PED=∠PBD+∠APB，

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．