Question

【題目】已知， 四邊形， 連接，，．

（1）如圖， 求證：平分；

（2）如圖，點(diǎn)在的延長線上，連接交于點(diǎn)，求證：；

（3）如圖3，在的條件下，連接，點(diǎn)在延長線上，連接，延長與延長線交于點(diǎn)， 若，， 的面積與的面積比為， ，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)“SSS”可證△ABC≌△ADC，進(jìn)而可得∠BAC=∠DAC，由此即可得證；

（2）過點(diǎn)F作FP⊥AB，FQ⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FP=FQ，進(jìn)而根據(jù)S△AEF:S△ADF=AE:AD=EF:DF即可得證；

（3）先根據(jù)，及可證得，再根據(jù)△EFC和△AFN的內(nèi)角和可證得，進(jìn)而可證得，再根據(jù)的面積與的面積比為結(jié)合可求得DN=AD=3，最后根據(jù)及求得FD的長，進(jìn)而可求得FN的長．

（1）證明：在△ABC與△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS）

∴∠BAC=∠DAC，

∴平分；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)F作FP⊥AB，FQ⊥AD，垂足分別為點(diǎn)P、Q，

∵平分，FP⊥AB，FQ⊥AD，

∴FP=FQ，

∴S△AEF:S△ADF=AE·FP：AD·FQ= AE：AD，

設(shè)點(diǎn)A到DE的距離為h，

則S△AEF:S△ADF=EF·h：FD·h=EF：FD，

∴AE：AD=EF：FD；

（3）解：∵，

∴，

∵

∴，

∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∵，

且，

∴

∴

∴

∵的面積與的面積比為

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴

∵，

∴

，

∴

．