Question

如圖，已知一次函數(shù)y=的圖象與x軸交于A點，與y軸交于B點：拋物線y=的圖象余一次函數(shù)y=的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點，且點D的坐標為（1，0）．

（1）求點B的坐標；

（2）求該拋物線的解析式；

（3）求四邊形BDEC的面積S；

（4）在x軸上是否存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）在一次函數(shù)y=中，令x=0，即可求出點B的坐標；

（2）將點B、D的坐標代入二次函數(shù)解析式，求出b、c的值，即可求出二次函數(shù)的解析式；

（3）兩解析式聯(lián)立方程求得B、C的坐標，令y=x²﹣x+1=0，求得D、E的坐標，然后根據(jù)梯形和三角形的面積公式求得即可；

（4）設P（x，0），求得PB²=x²+1，PC²=（x﹣4）²+9，BC²=4²+（3﹣1）²=20，然后分三種情況分別討論求得即可．

【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=與y軸的交點為B，

令x=0，可得y=1，

∴B（0，1）；

（2）將B（0，1），D（1，0）的坐標代入y=x²+bx+c得，

，

解得：，

∴解析式為：y=x²﹣x+1；

（3）∵二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于B、C兩點，

∴，

解得：，，

∴C（4，3），

解x²﹣x+1=0，得x=1和x=2，

∴D（1，0），E（2，0），

∴S=（1+3）×4﹣×1×1﹣（4﹣2）×3=4.5；

（4）設P（x，0），

∵B（0，1），C（4，3），

∴PB²=x²+1，PC²=（x﹣4）²+9，BC²=4²+（3﹣1）²=20，

①當∠PBC=90°時，則PB²+BC²=PC²，

即x²+1+20=（x﹣4）²+9，

解得x=，

∴P₁（，0）；

②當∠PCB=90°時，則PC²+BC²=PB²，

即x²+1=（x﹣4）²+9+20，

解得x=，

∴P₂（，0）；

③當∠BPC=90°時，則PB²+PC²=BC²，

即x²+1+（x﹣4）²+9=20，

解得x=1或x=3，

∴P₃（1，0），P₄（3，0）；

∴在x軸上存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形是直角三角形，點P的坐標為（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）．

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象交點坐標、四邊形的面積以及勾股定理的應用等知識，難度適中．