Question

【題目】我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形。例如：某三角形三邊長分別是5，6和8，因為，所以這個三角形是常態(tài)三角形。

（1）若△ABC三邊長分別是2，和4，則此三角形_________常態(tài)三角形（填“是”或“不是”）；

（2）若Rt△ABC是常態(tài)三角形，則此三角形的三邊長之比為__________________（請按從小到大排列）；

（3）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，點D為AB的中點，連接CD，若△BCD是常態(tài)三角形，求△ABC的面積。

Answer 1

【答案】（1）是；（2）：：；（3）18或6．

【解析】

（1）直接利用常態(tài)三角形的定義判斷即可；
（2）利用勾股定理以及結(jié)合常態(tài)三角形的定義得出兩直角邊的關(guān)系，進而得出答案；
（3）直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合常態(tài)三角形的定義得出BD的長，進而求出答案．

解：（1）∵22+42=4×（）2=20，
∴△ABC三邊長分別是2，和4，則此三角形是常態(tài)三角形．
故答案為：是；
（2）∵Rt△ABC是常態(tài)三角形，
∴設(shè)兩直角邊長為：a，b，斜邊長為：c，
則a2+b2=c2，a2+c2=4b2，
則2a2=3b2，
故a：b=：，
∴設(shè)a=x，b=x，
則c=x，
∴此三角形的三邊長之比為：：：．
故答案為：：：；
（3）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，點D為AB的中點，△BCD是常態(tài)三角形，
∴當AD=BD=DC，CD2+BD2=4×62時，
解得：BD=DC=6，
則AB=12，
故AC==6，
則△ABC的面積為：×6×6=18．
當AD=BD=DC，CD2+BC2=4×BD2時，
解得：BD=DC=2，
則AB=4，
故AC=2，
則△ABC的面積為：×6×2=6．
故△ABC的面積為18或6．