Question

2．如圖，已知：DE∥BC，AB∥DF．
（1）求i正：OB²=OE•OF；
（2）聯(lián)結(jié)OD，若∠OBC=∠ODC，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （2）由平行線分線段成比例定理，即可證得OB²=OE•OF；
（3）連接BD，交AC于點H，先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證得△ODF∽△OED，即可證得OD²=OE•OF，則得到OB=OD，又由OH⊥BD，即可證得四邊形ABCD為菱形．

解答 （1）證明：∵DE∥BC，AB∥DF，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OA}$，$\frac{OF}{OB}=\frac{OC}{OA}$，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{OF}{OB}$，
∴OB²=OE•OF；
（2）證明：連接OD，連接BD，交AC于點H，如圖所示：
∵DE∥BC，AB∥DF，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠OBC=∠E，
∴BH=DH，
∵∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{OF}{OD}$，
∴OD²=OE•OF，
∵OB²=OF•OE，
∴OB=OD，
∵平行四邊形ABCD中，BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定以及平行線分線段成比例定理等．綜合性很強，圖形較復(fù)雜，解題時要注意識圖，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．