Question

【題目】已知拋物線F：y＝x2+bx+c的圖象經過坐標原點O，且與x軸另一交點為（，0）．

（1）求拋物線F的解析式；

（2）如圖1，直線l：yx+m（m＞0）與拋物線F相交于點A（x1，y1）和點B（x2，y2）（點A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m，設點A′是點A關于原點O的對稱點，如圖2．

①判斷△AA′B的形狀，并說明理由；

②平面內是否存在點P，使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2x；（2）y2﹣y1＝（m＞0）；（3）①等邊三角形；②點P的坐標為（2）、（）和（，﹣2）．

【解析】

(1) 根據點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

(2) 將直線l的解析式代入拋物線F的解析式中， 可求出x1、x2的值， 利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出y1、y2的值， 做差后即可得出y2-y1的值；

(3) 根據m的值可得出點A、B的坐標， 利用對稱性求出點A′的坐標 ．

①分別求出AB、AA′、A′B的值， 由三者相等即可得出△AA′B為等邊三角形；

②根據等邊三角形的性質結合菱形的性質， 可得出存在符合題意得點P，設點P的坐標為(x，y)，分A′B為對角線或AB為對角線或AA′為對角線三種情況分別討論即可得.

(1)∵拋物線y＝x2+bx+c的圖象經過點(0，0)和(，0)，

∴，解得：，

∴拋物線F的解析式為y＝x2x；

(2)將yx+m代入y＝x2x，得：x2＝m，

解得：x1，x2，

∴y1m，y2m，

∴y2﹣y1＝(m)﹣(m)(m＞0)；

(3)∵m，∴點A的坐標為()，點B的坐標為(，2)，

∵點A′是點A關于原點O的對稱點，∴點A′的坐標為()；

①△AA′B為等邊三角形，理由如下：

∵A()，B(，2)，A′()，

∴AA′= ，

AB= ，

A′B= ，

∴AA′＝AB＝A′B，

∴△AA′B為等邊三角形；

②∵△AA′B為等邊三角形，

∴存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形分三種情況，

設點P的坐標為(x，y)．

(i)當A′B為對角線時，有，解得：，

∴點P的坐標為(2)；

(ii)當AB為對角線時，有，解得：，

∴點P的坐標為()；

(iii)當AA′為對角線時，有，解得：，

∴點P的坐標為(，﹣2)．

綜上所述：平面內存在點P，使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標為(2)、()和(，﹣2)．