Question

【題目】問題提出：將一個邊長為n（n≥2）的正三角形的三條邊n等分，連接各邊對應的等分點， 則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少呢？

問題探究：要研究上面的問題，我們不妨先從特例入手，進而找到一般規(guī)律

探究一：將一個邊長為2的正三角形的三條邊平分，連接各邊中點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

如圖1，連接邊長為2的正三角形三條邊的中點，從上往下：共有1+2+3=6個結點．邊長為1的正三角形，第一層有1個，第二層有2個，共有1+2=3個，線段數(shù)為3×3=9條；邊長為2的正三角形有1個，線段數(shù)為3條，總共有3×（1+2+1）=2×（1+2+3）=12條線段．

探究二：將一個邊長為3的正三角形的三條邊三等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

如圖2，連接邊長為3的正三角形三條邊的對應三等分點，從上往下：共有1+2+3+4=10個結點．邊長為1的正三角形，第一層有1個，第二層有2個，第三層有3個，共有1+2+3=6個，線段數(shù)為3×6=18條；邊長為2的正三角形有1+2=3個，線段數(shù)為3×3=9條，邊長為3的正三角形有1個，線段數(shù)為3條，總共有3×（1+2+3+1+2+1）=3×（1+2+3+4）=30條線段．

探究三：

請你仿照上面的方法，探究將邊長為4的正三角形的三條邊四等分（圖3），連接各邊對應的等分點，該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

（畫出示意圖，并寫出探究過程）

問題解決：

請你仿照上面的方法，探究將一個邊長為n（n≥2）的正三角形的三條邊n等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少？（寫出探究過程）

實際應用：

將一個邊長為30的正三角形的三條邊三十等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

Answer 1

【答案】探究三：結點個數(shù)為10個，線段數(shù)為60條；問題解決：結點個數(shù)為個，線段數(shù)為條；實際應用：結點個數(shù)為465個，線段數(shù)為14880條

【解析】

探究三：根據(jù)探究一和探究二的方法求解即可；

問題解決：根據(jù)探究一、探究二、探究三的過程總結規(guī)律即可；

實際應用：根據(jù)“問題解決”中總結的規(guī)律求解即可．

解：探究三：如圖3中，

連接邊長為4的正三角形三條邊的對應四等分點，從上往下：共有1+2+3+4+5=15個結點．邊長為1的正三角形，第一層有1個，第二層有2個，第三層有3個，第四層有4個，共有1+2+3+4=10個，線段數(shù)為3×10=30條；邊長為2的正三角形有1+2+3=6個，線段數(shù)為3×6=18條，邊長為3的正三角形有3個，線段數(shù)為3×3=9，邊長為4的正三角形有1個，線段數(shù)為3條，總共有3×(1+2+3+4+1+2+3+3+1)=4×(1+2+3+4+5)=60條線段．

∴該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)為10個，線段數(shù)為60條；

問題解決：探究將一個邊長為n(n≥2)的正三角形的三條邊n等分，連接各邊對應的等分點，從上往下：共有1+2+3+4+5+…n=個結點．邊長為1的正三角形，第一層有1個，第二層有2個，第三層有3個，第四層有4個，第n層有n個，共有(1+2+3+4+…+n)個，線段數(shù)為3×(1+2+3+4+…+n)條；邊長為2的正三角形有1+2+3=6個，線段數(shù)為3×6=18條，邊長為3的正三角形有3個，線段數(shù)為3×3=9，邊長為4的正三角形有1個，線段數(shù)為3條，…邊長為n的三角形1個，線段數(shù)為3，總共有n(1+2+3+…+n+1)=．

∴該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)為個，線段數(shù)為條；

實際應用：將一個邊長為30的正三角形的三條邊三十等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)為=465個結點個數(shù)，線段總數(shù)==14880條線段．

該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)為465個，線段數(shù)為14880條．