Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=3cm，DC=8cm，AD=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA﹣AC向終點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段BA上的運(yùn)動(dòng)速度是5cm/s；在線段AC上的運(yùn)動(dòng)速度是cm/s，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，將△PBQ繞PQ的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△QB′P，設(shè)四邊形PBQB′與△ABD重疊部分圖形的面積為y（cm2），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．

（1）用含x的代數(shù)式表示線段AP的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B′和△ADC一個(gè)頂點(diǎn)的直線平分△ADC的面積時(shí)，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，PA=5t，當(dāng)1<x<5時(shí),

（2）y=；（3）x=s或s或s時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)B′和△ADC一個(gè)頂點(diǎn)的直線平分△ADC的面積．

【解析】分析：（1）分兩種情形討論即可．
（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)時(shí),重疊部分是四邊形PBQB′.

②如圖2中，當(dāng)重疊部分是五邊形PBQMN.分別求解即可．
（3）分三種情形①如圖3中，當(dāng)PA=B時(shí)，PB′是△ABD是中位線．②如圖4中，設(shè)AB′的延長(zhǎng)線交BC于G．③如圖5中，連接DB′交AC于N，延長(zhǎng)B′P交AD于T，作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H．分別構(gòu)建方程即可解決問題．

詳解：(1)當(dāng)時(shí)，PA=5t，

當(dāng)1<x<5時(shí),

(2)如圖1中,當(dāng)時(shí),重疊部分是四邊形PBQB′.

∵PQ⊥BC，AD⊥BC，

∴PQ∥AD，

∴

∴

∴PQ=4x，BQ=3x，

由題意四邊形PBQB′是平行四邊形，

∴

如圖2中,當(dāng)重疊部分是五邊形PBQMN.

∵PN∥BD，

∴

∴PN=3(1x),B′N=3x3(1x)=6x3,易知MN=4(2x1)，

∴

綜上所述,

(3)如圖3中,當(dāng)PA=B時(shí),PB′是△ABD是中位線。

∴AB′=DB′,此時(shí)CB′平分△ADC的面積,此時(shí).

如圖4中,設(shè)AB′的延長(zhǎng)線交BC于G.

當(dāng)DG=GC=4時(shí),AB′平分△ADC的面積，

∵PB′∥BG，

∴ ∴

∴

如圖5中,連接DB′交AC于N,延長(zhǎng)B′P交AD于T,作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H.

由題意PA=(x1),AT=x1,TP=2(x1),PB′=BQ=3+2(x1)=2x+1，

當(dāng)AN=CN時(shí),DB′平分△ADC的面積，

∴可得AH=HD=2，HN=TM=2，

∴B′M=TB′MT=2(x1)+2x+14=4x5,MN=2(x1)=3x,TD=4(x1)=5x，

∵MN∥TD，

∴

∴

∴

綜上所述,x=s或s或s時(shí),經(jīng)過點(diǎn)B′和△ADC一個(gè)頂點(diǎn)的直線平分△ADC的面積。