Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖①，連接，點(diǎn)在拋物線上，且滿足．求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，點(diǎn)為軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，直線、分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)、．請(qǐng)問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）為定值

【解析】

（1）把點(diǎn)、坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得、的值．

（2）點(diǎn)可以在軸上方或下方，需分類討論．①若點(diǎn)在軸下方，延長(zhǎng)到，使構(gòu)造等腰，作中點(diǎn)，即有，利用的三角函數(shù)值，求、的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)．②若點(diǎn)在軸上方，根據(jù)對(duì)稱性，一定經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，再求、的長(zhǎng)，即得到為定值．

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，.

∴，解得：.

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.

（2）①若點(diǎn)在軸下方，如圖1，

延長(zhǎng)到，使，過點(diǎn)作軸，連接，作中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn).

∵當(dāng)，解得：，.

∴.

∵，，

∴，，，，

∴中，，，

∵，為中點(diǎn)，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

∴中，，，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴中，，，.

∴，，

∴，，即，

設(shè)直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：.

∵，解得：（即點(diǎn)），，

∴.

②若點(diǎn)在軸上方，如圖2，

在上截取，則與關(guān)于軸對(duì)稱，

∴，

設(shè)直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：.

∵，解得：（即點(diǎn)），，

∴.

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

（3）為定值.

∵拋物線的對(duì)稱軸為：直線，

∴，，

設(shè)，

設(shè)直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

設(shè)直線解析式為，

∴，解得：，

∴直線：，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴，為定值．