Question

1．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，將矩形沿對角線AC剪開，請解決以下問題：
（1）將△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′CD′，請在備用圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′CD′，連接AA′，并求線段AA′的長度；
（2）在（1）的情況下，將△A′CD′沿CB向左平移t（0＜t＜2$\sqrt{3}$），設(shè)平移后的圖形與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，由∠B=90°，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，推出tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACB=30°，AC=2AB=4，由CA=CA′=4，∠ACA′=90°，推出AA′=$\sqrt{2}$AC．即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時，重疊部分是△CC′M，②如圖3中，當(dāng)2＜t≤2$\sqrt{3}$時，重疊部分是四邊形MNC′D′．分別計算即可．

解答 解：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°，AC=2AB=4，
∵CA=CA′=4，∠ACA′=90°，
∴AA′=4$\sqrt{2}$．

（2）①如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時，重疊部分是△CC′M，

∵CC′=t，∠ACB=30°，∠A′C′D′=60°，
∴∠CMC′=90°，
∴C′M=$\frac{1}{2}$t，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²，

②如圖3中，當(dāng)2＜t＜2$\sqrt{3}$時，重疊部分是四邊形MNC′D′．

S=S_△CNC′-S_△CMD′=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²-$\frac{1}{2}$•（t-2）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（t-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{24}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{24}{t}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}t-\frac{2\sqrt{3}}{3}}&{（2＜t＜2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

點評 本題可知作圖-旋轉(zhuǎn)變換、分段函數(shù)的應(yīng)用，平移變換、勾股定理，直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．