Question

【題目】（2017江蘇省宿遷市，第25題，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC．

（1）求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求△ABC外接圓的半徑；

（3）點(diǎn)P為曲線M或曲線N上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上的一個動點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）Q（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．

【解析】試題（1）由已知拋物線可求得A、B坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用對稱性可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得曲線N的解析式；

（2）由外接圓的定義可知圓心即為線段BC與AB的垂直平分線的交點(diǎn)，即直線y=x與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，可求得外接圓的圓心，再利用勾股定理可求得半徑的長；

（3）設(shè)Q（x，0），當(dāng)BC為平行四邊形的邊時(shí)，則有BQ∥PC且BQ=PC，從而可用x表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到x的方程，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時(shí)，由B、C的坐標(biāo)可求得平行四邊形的對稱中心的坐標(biāo)，從而可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到關(guān)于x的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）在中，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x=0可得y=﹣3，又拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折后得到曲線N，∴C（0，3），設(shè)曲線N的解析式為，把A、B、C的坐標(biāo)代入可得：，解得：，∴曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）設(shè)△ABC外接圓的圓心為M，則點(diǎn)M為線段BC、線段AB垂直平分線的交點(diǎn)，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，又線段AB的解析式為曲線N的對稱軸，即x=1，∴M（1，1），∴MB==，即△ABC外接圓的半徑為；

（3）設(shè)Q（t，0），則BQ=|t﹣3|．

①當(dāng)BC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖1，則有BQ∥PC，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，

即過C點(diǎn)與x軸平行的直線與曲線M和曲線N的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，x軸上對應(yīng)的即為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在曲線M上時(shí)，在中，令y=3可解得x=1+或x=1﹣，∴PC=1+或PC=﹣1．

當(dāng)x=1+時(shí)，可知點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)，可得BQ=t﹣3，∴t﹣3=1+，解得t=4+；

當(dāng)x=1﹣時(shí)，可知點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)，可得BQ=3﹣t，∴3﹣t=﹣1，解得t=4﹣，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）；

當(dāng)點(diǎn)P在曲線N上時(shí)，在中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，∴PC=2，此時(shí)Q點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)，則BQ=t﹣3，∴t﹣3=2，解得t=5，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）；

②當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時(shí)，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的中點(diǎn)為（，），設(shè)P（x，y），∴x+t=3，y+0=3，解得x=3﹣t，y=3，∴P（3﹣t，3），當(dāng)點(diǎn)P在曲線M上時(shí)，則有3=（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t=2+或t=2﹣，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，0）或（2﹣，0）；

當(dāng)點(diǎn)P在曲線N上時(shí)，則有3=﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；

綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．