Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，聯結BD，過點C作CO⊥BD．垂足為O．并延長CO至E，使OE=CO．
（1）聯結BE、ED，如果BE⊥ED，求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）聯結AE、ED，求證：四邊形ABDE是等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線的性質得出BC=BE，DC=DE，由等腰三角形的性質得出∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE，證出∠BCD=90°，即可得出結論；
（2）由矩形的性質得出AB=DC，AD∥BC，∠BAD=90°，得出∠ADB=∠CBD，由等腰三角形的性質得出∠EBD=∠CBD，證出A、B、D、E四點共圓，由圓周角定理得出∠DAE=∠DBE，證出∠DAE=∠ADB，得出AE∥BD，證出四邊形ABDE是梯形，再證出AB=DE即可得出結論．

解答 （1）證明：∵CO⊥BD，OE=CO，
∴BC=BE，DC=DE，
∴∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE，
∵BE⊥ED，
∴∠BED=90°，
即∠BEO+∠DEO=90°，
∴∠BCD=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BE=BC，OC=OE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵∠BED=∠BAD=90°，
∴A、B、D、E四點共圓，
∴∠DAE=∠DBE，
∴∠DAE=∠ADB，
∴AE∥BD，
∴四邊形ABDE是梯形，
∵AB=DC，DE=DC，
∴AB=DE，
∴四邊形ABDE是等腰梯形．

點評 本題考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、矩形的判定與性質等知識；熟練掌握矩形的判定與性質是解決問題的關鍵．