Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3的對(duì)稱(chēng)軸是x=1， 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－2，－5）．

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)此拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，D是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)M在此拋物線(xiàn)上，若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) 拋物線(xiàn)的解析式為;(2)(，)，（1，3）（3）（2，3）、（4，-5）、（-4，-21）.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組，求出a、b的值即可；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出與x軸、y軸的交點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，結(jié)合勾股定理解答即可；（3）畫(huà)出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得M點(diǎn)坐標(biāo).

（1）題意，得

解這個(gè)方程組，得

∴ 拋物線(xiàn)的解析式為

（2）令， 得.

解這個(gè)方程得，．

令．

所以AB=4，OB=0C=3，,所以．

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．

∵,BE=DE．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，

已有∠ABC＝∠OBD， 則只需成立．

若成立，

則有BD＝．

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

BE2＋DE2＝2BE2＝BD2＝．

∴BE＝DE＝．

∴OE＝OB－BE＝3－．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）．

若成立，則有BD＝.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2＋DE2＝2BE2＝BD2＝（2）2．

∴BE＝DE＝2．

∴OE＝OB－BE＝3－2＝1．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,2）．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）或（1,2）．

（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,3）或（4，﹣5）或（﹣4，﹣21）．