【題目】如圖,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點.點和點關于軸對稱,點是線段上的一個動點.設點的坐標為,過點作軸的垂線交拋物線于點,交直線于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接,,當點運動到何處時,面積最大?最大面積是多少?并求出此時點的坐標;
(3)在第問的前提下,在軸上找一點,使值最小,求出的最小值并直接寫出此時點的坐標.
【答案】(1);(2)當m=2時,即P運動到(2,0)時,△DQB面積最大,,△DQB的最大面積為24,此時Q(2,6);(3)此時點E的坐標為(5,0).
【解析】
(1)把點代入解析式聯(lián)立方程組即可得到結果;
(2)先求出BD所在直線的解析式,設Q(m,),M(m,)可得,MQ,根據(jù)S△DBQ= S△DMQ +S△BMQ
可得出結果;
(3)過點E作EF⊥BD,垂足為F,根據(jù)當點Q、E、F在一條直線上時,有最小值即可得到結果;
(1)∵拋物線與x軸交于點A(-1,0),B(6,0),
∴,
解得,
∴拋物線的解析式,
(2)令x=0,則y=3. ∴C(0,3).
∵點C與點D關于x軸對稱,
∴D(0,﹣3)
設直線BD的解析式為y=kx﹣3(k≠0).
將(6,0)代入得:6k﹣3=0,
∴k=.
∴直線BD的解析式為.
∵直線l⊥x軸于點P,交拋物線于Q,交直線BD于點M,
且P(m,0),
∴Q(m,),M(m,),
∴MQ =,
,.
∴S
∴當m=2時,即P運動到(2,0)時,△DQB面積最大,
此時Q(2,6),△DQB的最大值為24.
(3)在Rt△OBD中,OB=6,OD=3,則BD=,
∴sin∠OBD=.
過點E作EF⊥BD,垂足為F.
Rt△BFE中,
sin∠OBD= sin∠EBF=.
∴EF=BE.
∴.
∴當點Q、E、F在一條直線上時,有最小值.
∵S△DBQ ,
∴
解得
即的最小值為
此時點E的坐標為(5,0).
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【題目】為做好疫情宣傳巡查工作,各地積極借助科技手段加大防控力度.如圖,亮亮在外出期間被無人機隔空喊話“戴上口罩,趕緊回家”.據(jù)測量,無人機與亮亮的水平距離是15米,當他抬頭仰視無人機時,仰角恰好為,若亮亮身高1.70米,則無人機距離地面的高度約為________米.(結果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,)
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【題目】已知在扇形中,圓心角,半徑.
(1)如圖1,過點作,交弧于點,再過點作于點,則的長為_________,的度數(shù)為_________;
(2)如圖2,設點為弧上的動點,過點作于點,于點,點分別在半徑,上,連接,則
①求點運動的路徑長是多少?
②的長度是否是定值?如果是,請求出這個定值;若不是,請說明理由;
(3)在(2)中的條件下,若點是的外心,直接寫出點運動的路經(jīng)長.
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【題目】ABC為等邊三角形,以AB邊為腰作等腰RtABD,∠BAD=90,AC與BD交于點E,連接CD,過點D作DF⊥BC交BC延長線于點F.
(1)如圖1,若DF=1,AB= ;AE= ;
(2)如圖2,將CDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至△C1DF1的位置,點C,F的對應點分別為C1,F1,當DC1平分∠EDC時,DC1與AC交于點M,在AM上取點N,使AN=DM,連接DN,求tan∠NDM的值.
(3)如圖3,將CDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至C1DF1的位置,點C,F的對應點分別為C1,F1,連接AF1、BC1,點G是BC1的中點,連接AG.求的值;
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【題目】在學習《用頻率估計概率》這一節(jié)課后,數(shù)學興趣小組設計了摸球試驗:在一個不透明的盒子里裝有質(zhì)地大小都相同的紅球和黑球共個,將球攪勻后從中隨機摸出一個記下顏色,放回,再重復進行下一次試驗,下表是他們整理得到的試驗數(shù)據(jù):
摸球的次數(shù) | ||||||
摸到紅球的次數(shù) | ||||||
摸到紅球的頻率 |
(1)試估計:盒子中有紅球 個;
(2)若從盒子中一次性摸出兩個球,用畫樹狀圖或列表的方法求出一次性摸出的兩個球都是紅球的概率.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點,平行于軸的直線與該拋物線交于、兩點(點位于點左側(cè)),與拋物線對稱軸交于點.
(1)求的值;
(2)設、是軸上的點(點位于點左側(cè)),四邊形為平行四邊形.過點、分別作軸的垂線,與拋物線交于點、.若,求、的值.
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【題目】我市要開展“不忘初心,牢記使命”主題演講比,某中學將參加本校選拔賽的50名選手的成績(滿分為100分,得分為正整數(shù))分成五組,并繪制了不完整的統(tǒng)計圖表.
分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
69.5~75.5 | 9 | 0.18 |
75.5~81.5 | m | 0.16 |
81.5~87.5 | 14 | 0.28 |
87.5~93.5 | 16 | n |
93.5~99.5 | 3 | 0.06 |
(1)表中n= ,并在圖中補全頻數(shù)直方圖.
(2)甲同學的比賽成績是50位參賽選手成績的中位數(shù),據(jù)此推測他的成績落在 分數(shù)段內(nèi);
(3)選拔賽時,成績在93.5~99.5的三位選手中,男生2人,女生1人,學校從中隨機確定2名選手參加全市決賽,請用列表法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
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【題目】在矩形ABCD中,M,N,P,Q分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(不與端點重合),對于任意矩形ABCD,下面四個結論中,
①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形;
②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形;
③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形;
④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形,
其中正確的結論的個數(shù)為( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,在中,于點,動點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向終點運動,當點與點不重合時,過點作交邊于點,以為邊作使點在點的下方,且,設與重疊部分圖形的面積為,點的運動時間為秒.
(1)的長為 ;
(2)當點落在邊上時,求的值;
(3)當與重疊部分圖形為四邊形時,求與之間的函數(shù)關系式;
(4)若射線與邊交于點連結,當的垂直平分線經(jīng)過的頂點時,直接寫出的值.
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