Question

【題目】如圖，△ABC中以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于D、E，過D作DF⊥BC于F，且D為弧AE的中點.

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若且AD=時，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）r=10

【解析】

（1）如圖，作輔助線；證明AE∥DF；利用垂徑定理的推論證明OD⊥AE，即可解決問題．

（2）連接AE交OD于H，根據(jù)圓周角的性質求得AE⊥BE，根據(jù)垂徑定理求得OD⊥AE，從而求得OD∥BC，進而求得OH=BE，根據(jù)題意設BE=3x，則AB=5x，由勾股定理得，AE=4x，進而得出AH=2x，OH=1.5x，DH=x，然后根據(jù)勾股定理求得AD=x，又因為AD=4，即可求得x=4，進而求得⊙O的半徑．

證明：（1）如圖，連接AE、OD；

∵AB為⊙O的直徑，

∴AE⊥BC，而DF⊥BC，

∴AE∥DF；

∵D為弧AE的中點

∴OD⊥AE，

∴OD⊥DF，

即DF為⊙O的切線．

（2）連接AE交OD于H，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

即AE⊥BE，

∵D為弧AE的中點，

∴OD⊥AE，

∴OD∥BC，

∵OA=OB，

∴OH=BE，

在RT△ABE中，

，設BE=3x，則AB=5x，由勾股定理得，AE=4x，

∴AH=2x，OH=1.5x，

∴DH=OD-OH=2.5x-1.5x=x，

在RT△ADH中，AD=

∵AD=4，

∴x=4，

∴⊙O的半徑=4×2.5=10．