Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，以為直徑作，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)．

（1）___________，___________．（用的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)為何值時(shí)，與的一邊相切？

（3）在點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交折線(xiàn)于點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)作于．

①當(dāng)線(xiàn)段長(zhǎng)度達(dá)到最大時(shí)，求的值；

②直接寫(xiě)出點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是________．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①；②

【解析】

（1）觀察圖中和的數(shù)量關(guān)系可得，而，將代入即可.

（2）與的一邊相切有兩種情況，先與相切，再與相切；兩種情況的解答方法都是連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)條件所給的特殊角的三角函數(shù)解答.

（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，在中根據(jù)三角函數(shù)可得，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，取得最大值時(shí)，有最大值，解之即可.

②明顯以點(diǎn)與點(diǎn)重合前后為節(jié)點(diǎn)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡分兩部分，第一部分為從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)與點(diǎn)重合，即圖中的，根據(jù)求解；第二部分，根據(jù)為定值可知其軌跡為圖中的，在中用勾股定理求解即可.

（1），

（2）情況1：與相切時(shí)，

中，∵

∴

∴解得

情況2：與相切時(shí)，

中，∵

∴即

解得

（3）①

在中，∵，，

∴，

∴當(dāng)最大時(shí)即最大

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最大．

易知此時(shí)．

在中，∵∴

∴

（3）軌跡如圖：從到到

,

，

故，

到軌跡是線(xiàn)段理由如下：

∵，，∴．

∴為定值，

∴點(diǎn)的第二段的軌跡是線(xiàn)段．

在中，,

所以點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是.