Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，OA在x軸正半軸上，OC在y軸正半軸上，且A（10，0）、C（0，8）

（1）如圖1，在矩形OABC的邊AB上取一點E，連接OE，將△AOE沿OE折疊，使點A恰好落在BC邊上的F處，求AE的長；

（2）將矩形OABC的AB邊沿x軸負(fù)方向平移至MN（其它邊保持不變），M、N分別在邊OA、CB上且滿足CN＝OM＝OC＝MN．如圖2，P、Q分別為OM、MN上一點．若∠PCQ＝45°，求證：PQ＝OP+NQ；

（3）如圖3，S、G、R、H分別為OC、OM、MN、NC上一點，SR、HG交于點D．若∠SDG＝135°，HG＝4，求RS的長．

Answer 1

【答案】（1）AE＝5；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程解出即可；
（2）作輔助線，構(gòu)建兩個三角形全等，證明和，由，得出結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建平行四邊形和全等三角形，可得和，則，，證明和，得，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程求出EN的長，再利用勾股定理求CE，則SR與CE相等，即可得出結(jié)論．

（1）如圖1，由題意得：，，

設(shè)，則，，

在中，，

∵，

∴，

∴，

由勾股定理得：，

解得：，

∴；

（2）如圖2，在PO的延長線上取一點E'，使，

∵，，

∴四邊形OMNC是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

②如圖3，過C作，在x軸負(fù)半軸上取一點E′，使，得，

且，則，

過C作交OM于F，連接FE，得，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

在中，，，

根據(jù)勾股定理得：，

∴，

設(shè)，則，，

則，

解得：，

∴，

根據(jù)勾股定理得：，

∴．