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【題目】已知點E是菱形ABCD邊BC上的中點，∠ABC＝30°，P是對角線BD上一點，且PC+PE＝．則菱形ABCD面積的最大值是_____．

【答案】20+8 ．

【解析】

取AB的中點E′，連接CE′交BD于P，由E、E′關于直線BD對稱，推出PE=PE′，推出PE+PC=PE′+PC，所以當PC+PE′=CE′=時，菱形ABCD面積的最大，作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M．設AB=BC=2a，則AM=a，E′H=a，BH=a，CH=2a-a，在Rt△CHE′中，由CE′2=CH2+HE′2，可得26=a2+（2-）2a2，解得a2=，根據菱形ABCD面積的最大值=BCAM=2aa=2a2，由此即可解決問題．

取AB的中點E′，連接CE′交BD于P，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠CBD，∵BE=EC，

∴E、E′關于直線BD對稱，

∴PE=PE′，

∴PE+PC=PE′+PC，

∴當PC+PE′=CE′=時，菱形ABCD面積的最大，

作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M．設AB=BC=2a，則AM=a，E′H=a，BH=a，CH=2a-a，

在Rt△CHE′中，∵CE′2=CH2+HE′2，

∴26=a2+（2-）2a2，

∴a2=，

∴菱形ABCD面積的最大值=BCAM=2aa=2a2=2×=20+8．

故答案為20+8．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，AC是ABCD的對角線，在AD邊上取一點F，連接BF交AC于點E，并延長BF交CD的延長線于點G．

（1）若∠ABF＝∠ACF，求證：CE2＝EFEG；

（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，二次函數與一次函數交于頂點和點兩點，一次函數與軸交于點.

（1）求二次函數和一次函數的解析式；

（2）軸上存在點使的面積為9，求點的坐標.

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【題目】矩形ABCD中，AB=6，BC=8.點P在矩形ABCD的內部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為數___________.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，BC＞AC，點E在BC上，CE=CA，點D在AB上，連接DE，∠ACB+∠ADE=180°，作CH⊥AB，垂足為H．

（1）如圖a，當∠ACB=90°時，連接CD，過點C作CF⊥CD交BA的延長線于點F．

①求證：FA=DE；

②請猜想三條線段DE，AD，CH之間的數量關系，直接寫出結論；

（2）如圖b，當∠ACB=120°時，三條線段DE，AD，CH之間存在怎樣的數量關系？請證明你的結論．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．

（1）如圖①，在AB上取一點D，將紙片沿OD翻折，使點A落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標；

（2）如圖②，若OE上有一動點P（不與O，E重合），從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿OE方向向點E勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t＜5），過點P作PM⊥OE交OD于點M，連接ME，求當t為何值時，以點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．

（1）如圖1，當AB∥CB'時，設A'B'與CB相交于點D，求證：△A'CD是等邊三角形．

（2）若E為AC的中點，P為A'B'的中點，則EP的最大值是多少，這時旋轉角θ為多少度．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線y=與x軸交于點A，與雙曲線在第一象限內交于點B，BC⊥x軸于點C，OC＝3AO．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）直接寫出不等式的解集．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC的外接圓于點E．

(1)BE與IE相等嗎？請說明理由．

(2)連接BI，CI，CE，若∠BED=∠CED=60°，猜想四邊形BECI是何種特殊四邊形，并證明你的猜想．

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