Question

【題目】已知二次函數y1=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（n，0）兩點，一次函數y2=2x+b的圖象過點A．

（1）若a=．

①若二次函數y1=ax2+bx+c（a＞0）與y軸交于點C，求△ABC的面積；

②設y3=y1﹣my2，是否存在正整數m，當x≥0時，y3隨x的增大而增大？若存在，求出正整數m的值；若不存在，請說明理由．

（2）若＜a＜，求證：﹣5＜n＜﹣4．

Answer 1

【答案】（1）①；②存在，m=1；（2）見解析

【解析】

（1）①將點A坐標代入解析式可求b=2，c=2﹣a，即可求拋物線解析式，可求點C，點B坐標，由三角形的面積公式可求解；

②由y3=x2+2x+﹣m（2x+2）=x2+（2﹣2m）x+（﹣2m），由二次函數的性質可求m≤1，即可求解；

（2）y1=ax2+2x+（2﹣a）的對稱軸為x=﹣=﹣，由＜a＜，可得﹣3＜﹣＜﹣，又A（﹣1，0）、B（n，0）兩點關于對稱軸對稱，則|﹣1﹣（﹣）|=|﹣﹣n|，即可求解．

解：（1）①∵y1=ax2+bx+c（a＞0）過點A，

∴a﹣b+c=0，

∵y2=2x+b的圖象過點A，

∴b=2，

∴c=2﹣a；

∵a=，

∴c=2﹣，

∴y1=x2+2x+，

∵二次函數y1=x2+2x+與y軸交于點C，與x軸交于A（﹣1，0），B（n，0）兩點，

∴點C（0，），點B（﹣3，0），

∴AB=2，

∴△ABC的面積=×2×；

②y3=x2+2x+﹣m（2x+2）=x2+（2﹣2m）x+（﹣2m），

∵在x≥0時，y3隨x的增大而增大，

∴對稱軸x=﹣=2m﹣2≤0，

∴m≤1，

∵m是正整數，

∴m=1；

（2）∵y1=ax2+2x+（2﹣a）的對稱軸為x=﹣=﹣，

又∵＜a＜，

∴﹣3＜﹣＜﹣，

又∵A（﹣1，0）、B（n，0）兩點關于對稱軸對稱，

∴|﹣1﹣（﹣）|=|﹣﹣n|，

∴n=﹣+1或n=﹣1（舍去），

∴﹣5＜n＜﹣4．