Question

【題目】已知關(guān)于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0（1）只有整數(shù)根，且關(guān)于y的一元二次方程（k﹣1）y2﹣3y+m＝0（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根y1和y2

（1）當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，確定k的值；

（2）在（1）的條件下，若m＞﹣2，用關(guān)于m的代數(shù)式表示y12+y22．

Answer 1

【答案】（1）k＝0，k＝﹣1；（2）當(dāng)m＞﹣2時(shí)，y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝9+2m.

當(dāng)m≥﹣時(shí)，有y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝+m．

【解析】

（1）要分兩種情況討論：

①k=0時(shí)，（1）方程為一元一次方程，可計(jì)算出此時(shí)方程的根是否為整數(shù)，若是，則k=0符合要求；

②k≠0時(shí)，（1）方程為一元二次方程，用因式分解法求出該方程的兩個(gè)根，再根據(jù)這個(gè)方程只有整數(shù)根的特點(diǎn)，求出k的整數(shù)值，再根據(jù)的判別式將不合題意的k值舍去．

（2）將（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根據(jù)根的判別式判斷出m的范圍，然后用根與系數(shù)的關(guān)系表示出所求的代數(shù)式的值．

解：（1）當(dāng)k＝0時(shí)，方程（1）化為﹣x﹣1＝0，x＝﹣1，方程有整數(shù)根

當(dāng)k≠0時(shí)，方程（1）可化為（x+1）（kx+k﹣1）＝0

解得x1＝﹣1，x2＝ ＝﹣1+；

∵方程（1）的根是整數(shù)，所以k為整數(shù)的倒數(shù)．

∵k是整數(shù)

∴k＝±1

此時(shí)△＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1）＝1＞0

但當(dāng)k＝1時(shí)，（k﹣1）y2﹣3y+m＝0不是一元二次方程

∴k＝1舍去

∴k＝0，k＝﹣1；

（2）當(dāng)k＝0時(shí)，方程（2）化為﹣y2﹣3y+m＝0

∵方程（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

∴△＝9+4m≥0，即m≥﹣，又m＞﹣2

∴當(dāng)m＞﹣2時(shí)，y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝9+2m；

當(dāng)k＝﹣1時(shí)，方程（2）化為﹣2y2﹣3y+m＝0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

∴△＝9+8m≥0，即m≥﹣

∵m＞﹣2，

∴當(dāng)﹣2＜m＜﹣時(shí)，方程（2）無(wú)實(shí)數(shù)根

當(dāng)m≥﹣時(shí)，有y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝+m．