Question

13．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$與⊙M交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2）．
（1）求a值及A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠CPD為銳角時(shí)，請(qǐng)求出m的取值范圍；
（3）點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，⊙M沿CD所在直線平移，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C′，D′，順次連接A，C′，D′，E四點(diǎn)，四邊形AC′D′E（只要考慮凸四邊形）的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)圓心M′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a，令y=0可得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD為銳角，由此即可解決問(wèn)題．
（3）存在．如圖2中，將線段C′A平移至D′F，當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)H重合時(shí)，四邊形AC′D′E的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)H坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴-2=a（0-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$=0，
∴x₁=4，x₂=1，
∵A、B在x軸上，
∴A（1，0），B（4，0）．

（2）由（1）可知拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴C、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{5}{2}$對(duì)稱(chēng)，
∵C（0，-2），
∴D（5，-2），
如圖1中，連接AD、AC、CD，則CD=5，

∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），
∴AC=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+AD²=CD²，
∴∠CAD=90°，
∴CD為⊙M的直徑，
∴當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD為銳角，
∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．

（3）存在．如圖2中，將線段C′A平移至D′F，則AF=C′D′=CD=5，

∵A（1，0），
∴F（6，0），
作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，
連接EE′正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，
∵拋物線頂點(diǎn)（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$），直線CD為y=-2，
∴E′（$\frac{5}{2}$，-$\frac{41}{8}$），
連接E′F交直線CD于H，
∵AE，C′D′是定值，
∴AC′+ED′最小時(shí)，四邊形AC′D′E的周長(zhǎng)最小，
∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′F′≥E′F，
則當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)H重合時(shí)，四邊形AC′D′E的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線E′F的解析式為y=kx+b，
∵E′（$\frac{5}{2}$，-$\frac{41}{8}$），F(xiàn)（6，0），
∴可得y=$\frac{41}{28}$x-$\frac{123}{14}$，
當(dāng)y=-2時(shí)，x=$\frac{190}{41}$，
∴H（$\frac{190}{41}$，-2），∵M(jìn)（$\frac{5}{2}$，-2），
∴DD′=5-$\frac{190}{41}$=$\frac{15}{41}$，
∵$\frac{5}{2}$-$\frac{15}{41}$=$\frac{175}{82}$，
∴M′（$\frac{175}{82}$，-2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解直徑所對(duì)的圓周角是直角，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最小值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．