Question

如圖，已知△BEC是等邊三角形，∠AEB=∠DEC=90°．AE=DE，AC、BD的交點為O．

  （1）求證：△AEC≌△DEB；

  （2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明略  （2）解：連結EO并延長EO交BC于點F，連結AD．

由（1），知AC=BD．∵∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠ABC+∠DCB=180°，AB∥DC，AB==CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形且矩形．

∴OA=OB=OC=OD，又∵BE=CE，∴OE所在直線垂直平分線段BC，

∴BF=FC，∠EFB=90°，∴OF=AB=×2=1，

∵△BEC是等邊三角形，∴∠EBC=60°，

在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，

∴BE=AB·cos30°=2×=，

在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，

∴BF=BE·cos60°=×=，EF=BE·sin60°=×=，

∴OE=EF-OF=-1=，

∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，∴△AOE≌△DOE，

∴S_△AOE=S_△DOE，

∴S_陰影=2S_△AOE =2×·EO·BF=2×××=（cm²）．